Determinación de Máximos y Mínimos

  

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Determina el punto máximo y mínimo de una función, esto se obtiene resolviendo o sacando la primera derivada de la funcion el cual significa obtener el valor de "x" reemplazando su valor dependiendo el tipo de intervalo que tengamos, ya sea abierto o cerrado.

El abierto significa que no podemos tomar los valores que se encuentran dentro de el regularmente se encuentran entre paréntesis(5,6) y el intervalo cerrado significa que puedes tomar los valores que se encuentran regularmente entre corchetes[-4,6], ese valor obtenido de "x" posteriormente se reemplaza en la función principal para obtener los valores de "y".

Tambien observamos como podemos validar nuestro resultado mediante una app  llamada geogebra.org, la cual es de fácil entendimiento.

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MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Los valores máximos de una función son los valores más altos de esta, mientras que los valores mínimos, como lo dice su nombre, se refiere a los valores más pequeños que dicha función puede tomar; ya sea en un intervalo determinado o de menos infinito a infinito.

 

PUNTO MÁXIMO RELATIVO Y PUNTO MÍNIMO RELATIVO:

​Debido a que muchas funciones tienen valores que van desde menos infinito a infinito es más sencillo referirse a los valores como punto máximo relativo y punto mínimo relativo, en estos dos puntos la recta tangente a la curva es completamente horizontal, por lo que su pendiente es igual a 0, aplicando los conocimientos con los que contamos podemos saber que igual, la derivada de la función va a tener el valor de 0. Estos puntos también determinan los intervalos crecientes y decrecientes.

Pasos para encontrar los puntos mínimos y máximos:

Se obtiene la derivada de la función.

Se iguala la derivada a cero para luego resolver la ecuación y así encontrar los valores de x, dichos valores son llamados valores críticos.

Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los valores críticos previamente obtenidos. Si el resultado es menor a cero entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a cero entonces es un punto mínimo.

Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así determinamos las coordenadas de dichos puntos.

 

INTERVALOS CRECIENTE Y DECRECIENTE:​

Se dice que una función es creciente cuando entre mayor sea el valor de x, mayor será el valor de y. Puesto en palabras más simple va hacia delante y arriba.

En cambio, una función es decreciente cuando entre mayor sea el valor de x, menor será el valor de y. Se puede decir entre más avanza, más se sumerge.

Determinar los intervalos crecientes y decrecientes de una función:

Obtenemos la de derivada de la función.

Se determinan los valores críticos.

Se ubican dichos valores en una recta.

Se buscan números entre los parámetros y se sustituyen en la derivada.

*Si la derivada es mayor a cero, es creciente.

*Si la derivada es menor a cero, es decreciente.

CONCAVIDAD:

​Característica de una curva en el entorno de un punto en el que la tangente no la atraviesa. Se dice que dicha curva, en el punto dado, presenta una concavidad hacia el lado donde no se encuentra la tangente. la concavidad puede ser determinada por medio de la segunda derivada.

Una función es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por debajo de la curva.

De forma inversa, una función es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están encima de la curva.

En un punto de la función cambia la concavidad, este punto es conocido como punto de inflexión.

PUNTO DE INFLEXIÓN:

El punto de inflexión es aquel en donde la recta tangente atraviesa la gráfica de la función y ocurre un cambio de curvatura ya sea de cóncava a convexa o convexa a cóncava.

Por lo tanto este punto nos representa el cambio de concavidad en la función.

Con este punto podemos determinar los intervalos de concavidad.

Video explicativo

Referencias:

Información valiosa tomada de:

CÁLCULO DIFERENCIAL - MÁXIMOS Y MÍNIMOS (weebly.com)

Derivadas Implícitas

 

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Se realiza como una ecuación de primer o segundo grado que es despejando, sin embargo aplicando las derivaciones.

en este caso se debe encontrar la dy / dx y es así como debes obtener el resultado.

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Introducción

En esta entrada estudiaremos dos conceptos que probablemente te suenen familiares: las derivadas implícitas y las derivadas de orden superior. Una vez los hayamos comprendido, tendremos muchos más casos en los cuales podremos aplicar la derivada empleando todas las herramientas que se han desarrollado hasta este punto.

Derivadas implícitas

A las funciones que se pueden expresar de la forma 𝑦=𝑓(𝑥) definidas en un intervalo las llamamos funciones explícitas; sin embargo, en ocasiones nos encontramos con funciones que no están expresadas de esta forma. Por ejemplo, en un curso de geometría analítica se estudia la ecuación que describe una parábola vertical: 4𝑝(𝑦−𝑘)=(𝑥−ℎ)2. Esta forma, la llamaremos función implícita, y aunque en este caso podríamos despejar 𝑦 para obtener una función explícita, no siempre es posible obtenerla.

Ejemplo 1.

En el siguiente ejemplo, 𝑦 depende de 𝑥 y se busca calcular la derivada de 𝑦.

𝑥3+2𝑥2𝑦+𝑥𝑦2+𝑦3=0.

Aunque no tengamos una función explícita, esto no limita la posibilidad de encontrar la derivada de 𝑦.

(𝑥3+2𝑥2𝑦+𝑥𝑦2+𝑦3)′=(0)′.(𝑥3)′+(2𝑥2𝑦)′+(𝑥𝑦2)′+(𝑦3)′=0.3𝑥2+2𝑥2(𝑦)′+2(𝑥2)′𝑦+𝑥(𝑦2)′+(𝑥)′𝑦2+3𝑦2𝑦′=0.3𝑥2+2𝑥2𝑦′+4𝑥𝑦+2𝑥𝑦𝑦′+𝑦2+3𝑦2𝑦′=0.⇒3𝑥2+4𝑥𝑦+𝑦2+𝑦′(2𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2)=0.⇒𝑦′=–3𝑥2+4𝑥𝑦+𝑦22𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2.

Notemos que es complicado saber respecto a que variable estamos derivando, por ello, particularmente para las derivadas implícitas es usual emplear la notación 𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑦′.

Video explicativo

Referencias:

Información valiosa tomada de:

Cálculo Diferencial e Integral I: Derivadas implícitas y de orden superior - El blog de Leo (nekomath.com)

Derivadas Exponenciales y Logaritmicas

 

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Las funciones exponenciales y logarítmicas son conceptos fundamentales en el ámbito de las matemáticas y la ciencia. Estas funciones tienen propiedades únicas que las distinguen de otras funciones y desempeñan un papel crucial en una variedad de aplicaciones. En este artículo, exploraremos la definición de derivadas para funciones exponenciales y logarítmicas, así como su importancia en el cálculo y otros campos de estudio.

 

¿Qué son las funciones exponenciales?

Las funciones exponenciales se definen como aquellas en las que la variable independiente aparece en el exponente. Matemáticamente, una función exponencial tiene la forma f(x) = a^x, donde “a” es la base de la función y “x” es la variable independiente. Estas funciones crecen rápidamente a medida que x aumenta, lo que las hace útiles para modelar fenómenos de crecimiento acelerado, como la población, las epidemias y las finanzas. La constante “e” es una base especial en las funciones exponenciales y es la base del logaritmo natural.

 

¿Qué son las funciones logarítmicas?

Leer másFunciones logarítmicas y exponenciales: todo lo que necesitas saber

Las funciones logarítmicas son inversas de las funciones exponenciales. Mientras que las funciones exponenciales implican la exponenciación, las funciones logarítmicas involucran la operación inversa, la logaritmación. La forma general de una función logarítmica es f(x) = log_a(x), donde “a” denota la base del logaritmo. Estas funciones se utilizan para modelar situaciones en las que el crecimiento es más lento y se desean escalas de medida logarítmicas, como en la química, la física y la ingeniería.

 

Derivadas de funciones exponenciales

Quizás también te interese:  Domina las técnicas esenciales para evaluar límites en cálculo diferencial

Ahora que hemos establecido una comprensión básica de las funciones exponenciales, es esencial comprender cómo calcular sus derivadas. La derivada de una función exponencial f(x) = a^x, donde “a” es una constante positiva, es de particular interés en el contexto del cálculo diferencial. La derivada de una función describe la tasa de cambio instantáneo de la función en un punto dado y es fundamental para comprender el comportamiento de la función en cuestión.

 

Leer másDomina las técnicas esenciales para evaluar límites en cálculo diferencial

Para calcular la derivada de f(x) = a^x, utilizamos la definición de la derivada con límites. Aplicando el límite cuando h tiende a cero en la expresión [f(x + h) – f(x)]/h, obtenemos la derivada de la función exponencial como f'(x) = a^x * ln(a), donde “ln(a)” representa el logaritmo natural de la base “a”. Esta fórmula revela que la derivada de una función exponencial es proporcional a la función original y depende de la base de la exponencial.

 

Propiedades de las derivadas de funciones exponenciales

Las derivadas de funciones exponenciales tienen propiedades interesantes que las distinguen de otras funciones. Una de las propiedades clave es que la función exponencial e^x tiene una derivada igual a ella misma, es decir, (e^x)’ = e^x. Esta característica es particularmente significativa en la teoría de ecuaciones diferenciales y modelado matemático, ya que las funciones exponenciales emergen naturalmente en una variedad de contextos.

 

Otra propiedad notable es que la base “e” tiene una importancia especial en el cálculo, ya que las funciones exponenciales con base “e” tienen derivadas simples y elegantes. Esta conexión entre la constante “e” y las derivadas proporciona un fundamento fundamental para la aplicación de funciones exponenciales en el análisis matemático y la ingeniería.

 

Derivadas de funciones logarítmicas

Ahora nos dirigimos hacia la derivada de las funciones logarítmicas. Al igual que con las funciones exponenciales, comprender la derivada de una función logarítmica es esencial para analizar su comportamiento y aplicarla en diversos contextos. La derivada de la función logarítmica f(x) = log_a(x) se obtiene utilizando técnicas similares a las aplicadas en el caso de las funciones exponenciales.

 

 

Cálculo de la derivada de una función logarítmica

La derivada de la función logarítmica f(x) = log_a(x) se puede calcular aplicando la definición de la derivada con límites. Al evaluar el límite cuando h tiende a cero en la expresión [f(x + h) – f(x)]/h, obtenemos la derivada de la función logarítmica como f'(x) = 1/(x * ln(a)), donde “ln(a)” representa el logaritmo natural de la base “a”. Esta fórmula revela que la derivada de una función logarítmica depende del logaritmo natural de la base y está relacionada inversamente con la variable independiente “x”.

 

Propiedades de las derivadas de funciones logarítmicas

Las derivadas de funciones logarítmicas también tienen propiedades significativas que influyen en su aplicación y comprensión. Una de estas propiedades es que la derivada de la función logarítmica es siempre positiva para x > 1 y siempre negativa para 0 < x < 1. Esta característica refleja el comportamiento de las funciones logarítmicas en términos de su pendiente y proporciona información importante sobre su crecimiento y decrecimiento en diferentes intervalos.

 

Además, la derivada de la función logarítmica f(x) = ln(x) con base e, es igual a 1/x, lo que sugiere que la tasa de cambio instantáneo de la función logarítmica está inversamente relacionada con la variable x. Estas propiedades son fundamentales para comprender cómo las funciones logarítmicas modelan fenómenos en diversas disciplinas, como la economía, la biología y la estadística.

Aplicaciones de las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas tienen una amplia gama de aplicaciones en diversos campos. En la física, por ejemplo, las funciones exponenciales modelan el decaimiento radioactivo y el crecimiento exponencial de poblaciones. Las derivadas de estas funciones son fundamentales para comprender la tasa de desintegración y el crecimiento poblacional en un momento dado, lo que tiene implicaciones significativas en la investigación y la ingeniería.

 

En el ámbito de las finanzas, las funciones exponenciales modelan el crecimiento compuesto de las inversiones y la deuda. Las derivadas de estas funciones informan sobre la tasa de cambio en el valor de una inversión o el ritmo al que una deuda acumula intereses, lo que es crucial para la toma de decisiones financieras informadas.

 

Las funciones logarítmicas, por otro lado, se utilizan en aplicaciones como la medición de pH en química, la magnitud de terremotos en geología y la interpretación de datos en la biología. Las derivadas de las funciones logarítmicas proporcionan información vital sobre la tasa de cambio en estos contextos, lo que contribuye a la comprensión y el análisis de fenómenos naturales y artificiales.

 

En resumen, las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas tienen un impacto significativo en la comprensión y el modelado de fenómenos en una amplia gama de disciplinas, lo que subraya su importancia en el ámbito académico y profesional.

 

Conclusion

En este artículo, hemos explorado la definición de derivadas para funciones exponenciales y logarítmicas, así como su importancia en diversas áreas de estudio. Hemos examinado cómo calcular las derivadas de estas funciones y hemos destacado sus propiedades distintivas. Además, hemos explorado varias aplicaciones de las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas en campos como la física, las finanzas, la química y la biología.

 

Al comprender las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas, los estudiantes y profesionales pueden adquirir una sólida base para enfrentar problemas y fenómenos complejos en el mundo real. Esta comprensión no solo tiene implicaciones académicas, sino que también es invaluable en la resolución de problemas prácticos y en la toma de decisiones informadas en una variedad de campos.

 

En última instancia, la capacidad de calcular y aplicar derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas es esencial para el avance del conocimiento y la innovación en numerosos dominios. Con un sólido entendimiento de estas derivadas, los individuos están mejor equipados para abordar desafíos matemáticos, científicos y de ingeniería, y para contribuir al progreso de la sociedad en su conjunto.

Referencias:

Información valiosa tomada de:

https://matematizame.com/

Reglas Trigonométricas

 

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Se tiene que conocer la función o funciones que se están por resolver para saber que tipos de regla o formula es la que tienes que aplicar, adicional lo que vi en clase es aplicar los conocimientos algebraicos que previamente tuvimos ya sea en la prepa y en el cuatrimestre pasado.

en clase conocimos la regla del seno, que en mi parecer se me hizo sencilla y donde se nos mostro un ejemplo que para derivar utilizamos el cos U que multiplica la derivada de u, y también se vio la regla del cos U donde se usa -sen de u que multiplica la derivada de u.

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Durante nuestro estudio del cálculo diferencial hemos aprendido que las derivadas juegan un papel muy importante para las matemáticas, la física y la química, es por ello que hemos aprendido a derivar con varios ejemplos propuestos para poder aprender de la mejor forma, las derivadas trigonométricas no deben faltar en nuestro estudio completo de derivadas.

En este artículo nos centraremos solamente a derivar funciones que impliquen funciones trigonométricas, pero haciendo uso de la práctica de las reglas de derivación algebraica, y las reglas de la derivación del producto, cociente y potencia. Para ello, nuevamente comentamos que es importante tener en cuenta algunos conceptos antes de meternos de lleno a la derivación. Por ejemplo, comprender que es el argumento en una función trascendente, y por supuesto que es una función trascendente.

¿Qué es una función trascendente y qué es el argumento?

Las funciones trascendentes son aquellas funcionen que poseen algo llamado "argumento", dicho argumento es una cantidad numérica o simbólica que hacen que una función obtenga un valor, es decir, el argumento hace que la función se vuelva un valor numérico, sin el argumento la función se convierte en una función vacía, carece de valor.

Para citar un ejemplo, veamos la función coseno ( cos ), el coseno por si mismo no posee valor, necesita un argumento para que éste pueda tener un valor real, vamos agregarle el número 45 a su argumento, entonces tendríamos:

Aquí vemos que el coseno, ya adquiere un valor. Entonces en conclusión, el 45 es el argumento del coseno.

Las funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales e inversas son funciones trascedentes.

Lo común es que el argumento esté siempre en paréntesis después de la función principal, a veces se omite pero debemos entender cual es la función y cual el argumento.

⚠️ No confundir 

Es normal confundir el argumento con otra función si no se agrupan los términos correctamente, aquí abajo vemos un claro ejemplo del error común con los argumentos.

Veamos otros dos errores comunes, que el alumno puede confundir. Es mejor aclarar cuando una función está elevada a una potencia, y cuando es el argumento que está elevado a una potencia.

Teniendo en cuenta estos puntos importantes y advertencias, ahora si podemos empezar por aprender las reglas de derivación para funciones trigonométricas y posteriormente comenzar a derivar desde cero.

Fórmulas Para las Derivadas de Funciones Trigonométricas

Video explicativo

Referencias:

Información valiosa tomada de:

Carlos Julián es Ingeniero Mecatrónico, profesor de Física y Matemáticas.

Derivada de Funciones Trigonométricas - Fisimat

Reglas de la Derivación

   

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Con estas reglas nos ensena una manera mas practica de resolver las derivadas dejando un poco atrás los limites, sin embargo creo que es importante identificar que tipo de regla debemos utilizar para cada uno de los ejercicios que vayamos a realizar.

Un punto clave el cual vimos en clase, es visualizar que tipo de operación se esta realizando y así saber la regla que debemos utilizar.

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¿Qué son las reglas de derivación?

Las reglas de derivación son el conjunto de indicaciones a seguir para encontrar la derivada ordinaria de una función de variable real f(x).

La derivada ordinaria de la función f(x), denotada como f’(x), se interpreta como la tasa de cambio instantánea de dicha función respecto a la variable x. Gráficamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva de f(x), calculada en un punto dado cuya coordenada es xo, tal como se representa en la figura de abajo.

Ahora bien, analíticamente la derivada se calcula a través del siguiente límite:

Entonces, cada vez que se requiera la derivada de alguna función, habría que evaluar el límite como se indica. Sin embargo, existen las reglas de derivación, que se memorizan fácilmente con un poco de práctica y ahorran el trabajo de calcular el límite, lo cual en algunos casos es engorroso.

Referencias:

Información valiosa tomada de:

Fanny Zapata Licenciada en Física, con mención en Física Experimental

Última edición el 3 de mayo de 2021, © Lifeder 2024 | All Rights reserved.

Definición de la Derivada

 

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El tema es interesante ya que la derivada es la que nos permite encontrar la velocidad en un punto exacto, o también se puede decir que es la que nos permite encontrar la recta tangente a una función dada.

Esto es importante ya que en los procesos regularmente no existe una velocidad promedio, sino que va cambiando de acuerdo al tiempo, para estos ejercicios utilizamos una función que se determina de la siguiente manera:

Recordemos que la "h" tambien en algunos libros la podemos encontrar como un triangulo y una x, que a esto de le llama delta equis.

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¿Qué es una derivada?

Se utiliza en matemática para el cálculo de respuestas de una función a la que se le están alternando sus valores iniciales, el cual está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre otra curva (función) y el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo evaluada la función recibe el nombre de derivada.

¿Para qué sirve?

Sirven para garantizar u optimizar sistemas que se expresan con funciones más o menos complejas.
Uso de las derivadas en la vida diaria

No solo cumple un papel fundamental en el área de la matemática, sino también en diversas ciencias como la física, mecánica, biología, en el estudio de la medicina y la economía.

Una forma más sencilla de comprenderlas es saber que estas representan razones de cambio, en ingeniería por ejemplo sirve para calcular la variación de la temperatura en un tubo cuando aumenta la presión.

Otro ejemplo sería para calcular cuánto tiempo le durará la batería a un celular en función al cambio de consumo de corriente durante una llamada.
Derivada de una función real

La función f es la función f’ definida por:

Para todo x donde exista este límite.

Cuando estamos interesados particularmente en el valor de la derivada f’ en x=a reescribimos la definición así:

Se observa que x→a cuando h→0 si el límite de la definición existe decimos que la función f es derivable o diferenciable en x=a. el proceso de encontrar la derivada (f’) se llama derivación de f.

Referencias:

Información valiosa tomada de:

Yolijose Rivas

Profesora de Matemática, Egresada de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) - Venezuela, http//www.matemente.com/derivada/#GeneratedCaptionsTabForHeroSec#:~:text=Una%20derivada

Continuidad de una funcion

 

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Una función se puede identificar si es continua, directamente en una gráfica, y a simple vista se puede decir que es sencillo identificarla, ya que los trazos se realizan sin una separación. pero cuando se trata de identificar analíticamente con la función F(x) ahí es donde se pone un puede poner un poco complejo desde mi punto de vista y es ahí donde hay que resolver, y definimos que una función es continua cuando los 3 limites tienen el mismo valor.

La discontinuidad, de igual manera se puede identificar gráficamente pues muy rápido ya que existe una separación entre los trazos, y para identificarla de forma analítica basta tener un límite de diferente valor a los demás.

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1. Concepto de continuidad


Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.


Ejemplo de función continua: f(x)=x3𝑓(𝑥)=𝑥3.

Gráfica:





Ejemplo de función no continua: f(x)=1/x𝑓(𝑥)=1/𝑥.

Gráfica:


Definición formal:


La función f𝑓 es continua en el punto c𝑐 si

limx→cf(x)=f(c)lim𝑥→𝑐𝑓(𝑥)=𝑓(𝑐)

La función f𝑓 es continua si es continua en todos los puntos.

Por ejemplo, la función f(x)=1/x𝑓(𝑥)=1/𝑥 no es continua en x=0𝑥=0 porque no existe f(0)𝑓(0).
Observaciones:

En realidad, para hablar de continuidad en un punto a𝑎, debería ser indispensable que el punto a𝑎 pertenezca al dominio de la función.

Por ejemplo, el dominio de f(x)=1/x𝑓(𝑥)=1/𝑥 es R−{0}𝑅−{0} y la función es continua en su dominio. Sin embargo, no existe el límite de f(x)𝑓(𝑥) cuando x→0𝑥→0 ni existe f(0)𝑓(0), por lo que decimos que f𝑓 no es continua en x=0𝑥=0.

Como normalmente consideramos a todas las funciones como f:R→R𝑓:𝑅→𝑅, tenemos que calcular primero el dominio de la función y, después, la continuidad en el dominio.

Funciones polinómicasf(x)=amxm + am−1xm−1 +𝑓(𝑥)=𝑎𝑚𝑥𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑥𝑚−1 ++ ... + a1x + a0+ ... + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

Son continuas en todos los reales.

Funciones racionalesf(x)=p(x)q(x)𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)

Son continuas en todos los reales excepto en los que anulan al denominador.

Funciones exponencialesf(x)=ax𝑓(𝑥)=𝑎𝑥

Como regla general, son continuas en todos los reales. Cuando la base es no positiva, a≤0𝑎≤0, puede haber complicaciones.

Funciones logarítmicasf(x)=log(x)𝑓(𝑥)=log⁡(𝑥)

Son continuas en todos los reales positivos.

Funciones irracionalesf(x)=n√x𝑓(𝑥)=𝑥𝑛

Si n𝑛 es par, son continuas en todos los reales. Si n𝑛 es impar, en los reales positivos.

Funciones trigonométricas

El seno y el coseno son continuas en todos los reales. La tangente no es continua en π/2+nπ𝜋/2+𝑛𝜋 para todo entero n𝑛.

La mayoría de las funciones que veremos son combinaciones de las anteriores, así que es recomendable aprender su continuidad.

Referencias:

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