Derivadas Implícitas

 

 Aprendizaje Personal

Se realiza como una ecuación de primer o segundo grado que es despejando, sin embargo aplicando las derivaciones.

en este caso se debe encontrar la dy / dx y es así como debes obtener el resultado.

 Aprendizaje Complementario

Introducción

En esta entrada estudiaremos dos conceptos que probablemente te suenen familiares: las derivadas implícitas y las derivadas de orden superior. Una vez los hayamos comprendido, tendremos muchos más casos en los cuales podremos aplicar la derivada empleando todas las herramientas que se han desarrollado hasta este punto.

Derivadas implícitas

A las funciones que se pueden expresar de la forma 𝑦=𝑓(𝑥) definidas en un intervalo las llamamos funciones explícitas; sin embargo, en ocasiones nos encontramos con funciones que no están expresadas de esta forma. Por ejemplo, en un curso de geometría analítica se estudia la ecuación que describe una parábola vertical: 4𝑝(𝑦−𝑘)=(𝑥−ℎ)2. Esta forma, la llamaremos función implícita, y aunque en este caso podríamos despejar 𝑦 para obtener una función explícita, no siempre es posible obtenerla.

Ejemplo 1.

En el siguiente ejemplo, 𝑦 depende de 𝑥 y se busca calcular la derivada de 𝑦.

𝑥3+2𝑥2𝑦+𝑥𝑦2+𝑦3=0.

Aunque no tengamos una función explícita, esto no limita la posibilidad de encontrar la derivada de 𝑦.

(𝑥3+2𝑥2𝑦+𝑥𝑦2+𝑦3)′=(0)′.(𝑥3)′+(2𝑥2𝑦)′+(𝑥𝑦2)′+(𝑦3)′=0.3𝑥2+2𝑥2(𝑦)′+2(𝑥2)′𝑦+𝑥(𝑦2)′+(𝑥)′𝑦2+3𝑦2𝑦′=0.3𝑥2+2𝑥2𝑦′+4𝑥𝑦+2𝑥𝑦𝑦′+𝑦2+3𝑦2𝑦′=0.⇒3𝑥2+4𝑥𝑦+𝑦2+𝑦′(2𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2)=0.⇒𝑦′=–3𝑥2+4𝑥𝑦+𝑦22𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2.

Notemos que es complicado saber respecto a que variable estamos derivando, por ello, particularmente para las derivadas implícitas es usual emplear la notación 𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑦′.

Video explicativo

Referencias:

Información valiosa tomada de:

Cálculo Diferencial e Integral I: Derivadas implícitas y de orden superior - El blog de Leo (nekomath.com)