Método por ecuaciones lineales

 

                                                          

 Aprendizaje Personal

Aprendí  a utilizar esta formula de dy/dx + P(x)y= Q(x) que esta se utiliza siempre y cuando la ecuación sea lineal de primer orden, adicional observe que puedes igualar una expresión si algún elemento estorba en la primer expresión de la derivada, es decir se puede expresar afectando toda la ecuación, desarrollamos la ecuacion realizando las derivadas correspondientes para luego reemplazar el resultado en la formula de :

Aprendizaje Complementario

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.

Primer Orden

Son de "Primer Orden" cuando solo hay dydx, no d²ydx²  ni d³ydx³, etc.

Lineal

Una ecuación diferencial de primer orden es lineal cuando se puede hacer que tenga este aspecto:

dydx + P(x)y = Q(x)

Donde P(x) y Q(x) son funciones de x.

Para hallar la solución hay un método especial:

• Inventamos dos nuevas funciones de x, las llamamos u y v, y decimos que y=uv.
• Luego tratamos de encontrar u, y después v, y ordenar y acomodar todo cuando tengamos todo listo.

Y también usamos la derivada de y=uv (lee Reglas de Derivación (Regla del Producto)):

dydx = udvdx + vdudx

Pasos

Aquí hay un método paso a paso para resolverlas:

• 1. Sustituye y = uv, y

dydx = udvdx + vdudx

en

dydx + P(x)y = Q(x)

• 2. Factoriza las partes que incluyen v
• 3. Pon v igualada a cero (esto nos da una ecuación diferencial en términos de u y x que se puede resolver en el siguiente paso)
• 4. Resuelve usando separación de variables para encontrar u
• 5. Sustituye u de vuelta en la ecuación del paso 2
• 6. Resuelve para encontrar v
• 7. Finalmente, ¡sustituye u y v en y = uv para obtener la solución!

Ejemplo 1: Resuelve:

  dydx − yx = 1

Primero, ¿es lineal? Sí, ya que está en la forma

dydx + P(x)y = Q(x)
donde P(x) = −1x  y Q(x) = 1

Sigamos los pasos:

Paso 1: Sustituye y = uv, y dydx = u dvdx + v dudx

De modo que esto:dydx − yx = 1

Se convierte en:udvdx + vdudx − uvx = 1

Paso 2: Factoriza las partes que incluyen v

Factoriza v:u dvdx + v( dudx − ux ) = 1

Paso 3: Pon v igualada a cero

v igualada a cero:dudx − ux = 0

Por lo tanto:dudx = ux

Paso 4: Resuelve usando separación de variables para encontrar u

Separa las variables:duu = dxx

Usa la notación de integración:∫ duu = ∫ dxx

Integra:ln(u) = ln(x) + C

Haz C = ln(k):ln(u) = ln(x) + ln(k)

Y queda:u = kx

Paso 5: Sustituye u de vuelta en la ecuación del Paso 2

(Recuerda que el término v es igual a 0, así que lo podemos ignorar):kx dvdx = 1

Paso 6: Resuelve esto para encontrar v

Separa las variables:k dv = dxx

Usa la notación de integrales:∫ k dv = ∫ dxx

Integra:kv = ln(x) + C

Haz C = ln(c):kv = ln(x) + ln(c)

Por tanto:kv = ln(cx)

Y se tiene:v = 1k ln(cx)

Paso 7: Sustituye en y = uv para encontrar la solución a la ecuación original.

y = uv:y = kx 1k ln(cx)

Simplifica:y = x ln(cx)

Y produce esta bonita familia de curvas:

 

y = x ln(cx) para diferentes valores de c

Referencias:

Información valiosa tomada de:

   

                                                        www.disfrutalasmatematicas.com