Mi Blog ALAN BAUTISTA: Solución de una Ecuación Diferencial

Aprendizaje Personal

En la clase recordé un poco otra vez de como se resuelven las ecuaciones diferenciales, ya que la habíamos visto a detalle en el cuatrimestre ante pasado, y en ocasiones me generaba una confusión al momento de realizar las ecuaciones integrales.

Pero en particular, recordé nuevamente que se utiliza para ecuaciones mas complejas la sustitución de "u" y "v" y en particular resolviendo la ecuación diferencial saber si el resultado que nos entregaron al inicio, satisface la ecuación dada o no cumple, esto nos da al encontrar las derivadas de acuerdo al orden de la ecuación que nos dieron y luego reemplazar ese valor obtenido en la ecuación principal, posteriormente es aplicar algebra que eso no se me hizo complicado.

Aprendizaje Complementario

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Definición: Una solución de una ecuación diferencial es una función f definida en un intervalo δ que tiene al menos n derivadas continuas en δ y que al sustituirlas en la ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a la identidad.

Una función f es solución si para una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden cumple lo siguiente.

(1)F(x,f(x),f′(x),⋯,f(n)(x))=0

para toda x∈δ. En este curso supondremos que una solución f es una función con valores reales, es decir, δ∈R.

El intervalo de solución δ también es conocido como intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a,b), un intervalo cerrado [a,b], un intervalo infinito (a,∞), etcétera.

Definición: Si la función f(x)=0 es solución de una ecuación diferencial en un intervalo δ, decimos que f es la solución trivial.

Ejemplo: Verificar que la función

f(x)=y=1x

es solución de la ecuación diferencial

xdydx+y=0

Solución: Consideremos la función y=1x para toda x≠0. La derivada de esta función es

dydx=−1x2

para toda x≠0. Sustituyamos estas funciones en la ecuación diferencial y verifiquemos que se satisface la igualdad.

xdydx+y=x(−1x2)+1x=−1x+1x=0

Como hemos recuperado la ecuación diferencial decimos que en efecto y=1x es solución. Observemos que la solución no está definida para x=0, sin embargo, al ser solución significa que es una función definida en un intervalo δ en el que es derivable y satisface la ecuación, esto indica que y es solución en cualquier intervalo que no contenga al 0.

Como observación notemos que la función f(x)=y=0 y la derivada correspondiente dydx=0, también satisfacen la misma ecuación diferencial, entonces decimos que dicha ecuación diferencial tiene solución trivial.

Como podemos notar, tanto la función y=1x, como la función constante y=0, son solución de la misma ecuación diferencial, ¡esto significa que una ecuación diferencial puede tener más de una solución!.

Curva solución de una ecuación diferencial

Las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de una variable dependiente son funciones de una variable independiente, por lo tanto se pueden graficar en el plano XY. De acuerdo a la definición de solución, y al ejemplo anterior, es importante hacer una distinción entre el dominio de una función (los valores para los cuales la función está definida) y un intervalo de solución.

Definición: La gráfica de una solución f(x) de una ecuación diferencial ordinaria se llama curva solución.

Si f(x) es solución de una ecuación diferencial, entonces f(x) es derivable, lo que también significa que es continua en su intervalo de definición δ, esto es necesario para ser solución y no siempre va a ocurrir para todo el dominio de la función f. Puede haber diferencia entre la gráfica de la función f(x) y la gráfica de la solución f(x). En el ejemplo anterior el dominio de la función y=1x es D=R−{0}, mientras que el intervalo de solución es cualquier intervalo que no contenga al 0, por ejemplo δ=(−∞,−1), δ=(5,100) o δ=(1,∞), etcétera. El intervalo de solución no necesita ser igual al dominio de la función f(x).