Problemas de Valor Inicial ED

                                                               

 

 Aprendizaje Personal

En la clase retomamos un poco el como debemos realizar las diferenciales, vimos el caso de cuando tenemos 2 términos multiplicándose, en el cual debemos aplicar la regla de la potencia para diferenciar que es du/dx=U'V * UV', después de realizar la derivación tenemos que reemplazar los valores encontrados en la ecuación principal y así corroborar si el resultado satisface la ecuación.

Aprendizaje Complementario

Ecuaciones diferenciales con valor inicial

Hemos aprendido que existen varias funciones que pueden ser solución de una ecuación diferencial debido a que las mismas contienen constantes que actúan como parámetros. Sin embargo, si se establecen ciertas condiciones como por ejemplo el hecho de la función devuelva un valor específico para un punto dado, puede restringirse la solución de tal forma que sea única.

Cómo encontrar la solución cuando hay un valor inicial

Para resolver una ecuación diferencial con valor inicial los pasos son los siguientes:

1. Encontrar la solución general
2. Reemplazar las variables por las condiciones
3. Despejar las constantes de integración y reescribir la solución

Ejemplo

Tenemos la siguiente ecuación diferencial:



La solución a esta ecuación diferencial es la siguiente:



Como podemos observar, con diferentes valores de “C” encontramos distintas funciones que son solución a la ecuación diferencial.

Sin embargo,además de la ecuación diferencial podríamos tener una condición para la función solución. Por ejemplo, que la función pase por el punto (0, 1).



Aplicando la condición anterior a la solución obtenemos la siguiente expresión:



Despejamos “C”:



La solución particular nos queda:

Referencias:

Información valiosa tomada de:

   

                                Ecuaciones diferenciales con valor inicial - Física Práctica

Solución de una Ecuación Diferencial

                                                                 

 

 Aprendizaje Personal

En la clase recordé un poco otra vez de como se resuelven las ecuaciones diferenciales, ya que la habíamos visto a detalle en el cuatrimestre ante pasado, y en ocasiones me generaba una confusión al momento de realizar las ecuaciones integrales.

Pero en particular, recordé nuevamente que se utiliza para ecuaciones mas complejas la sustitución de "u" y "v" y en particular resolviendo la ecuación diferencial saber si el resultado que nos entregaron al inicio, satisface la ecuación dada o no cumple, esto nos da al encontrar las derivadas de acuerdo al orden de la ecuación que nos dieron y luego reemplazar ese valor obtenido en la ecuación principal, posteriormente es aplicar algebra que eso no se me hizo complicado.

Aprendizaje Complementario

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Definición: Una solución de una ecuación diferencial es una función f definida en un intervalo δ que tiene al menos n derivadas continuas en δ y que al sustituirlas en la ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a la identidad.

Una función f es solución si para una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden cumple lo siguiente.

(1)F(x,f(x),f′(x),⋯,f(n)(x))=0

para toda x∈δ. En este curso supondremos que una solución f es una función con valores reales, es decir, δ∈R.

El intervalo de solución δ también es conocido como intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a,b), un intervalo cerrado [a,b], un intervalo infinito (a,∞), etcétera.

Definición: Si la función f(x)=0 es solución de una ecuación diferencial en un intervalo δ, decimos que f es la solución trivial.

Ejemplo: Verificar que la función

f(x)=y=1x

es solución de la ecuación diferencial

xdydx+y=0

Solución: Consideremos la función y=1x para toda x≠0. La derivada de esta función es

dydx=−1x2

para toda x≠0. Sustituyamos estas funciones en la ecuación diferencial y verifiquemos que se satisface la igualdad.

xdydx+y=x(−1x2)+1x=−1x+1x=0

Como hemos recuperado la ecuación diferencial decimos que en efecto y=1x es solución. Observemos que la solución no está definida para x=0, sin embargo, al ser solución significa que es una función definida en un intervalo δ en el que es derivable y satisface la ecuación, esto indica que y es solución en cualquier intervalo que no contenga al 0.

Como observación notemos que la función f(x)=y=0 y la derivada correspondiente dydx=0, también satisfacen la misma ecuación diferencial, entonces decimos que dicha ecuación diferencial tiene solución trivial.

Como podemos notar, tanto la función y=1x, como la función constante y=0, son solución de la misma ecuación diferencial, ¡esto significa que una ecuación diferencial puede tener más de una solución!.

Curva solución de una ecuación diferencial

Las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de una variable dependiente son funciones de una variable independiente, por lo tanto se pueden graficar en el plano XY. De acuerdo a la definición de solución, y al ejemplo anterior, es importante hacer una distinción entre el dominio de una función (los valores para los cuales la función está definida) y un intervalo de solución.

Definición: La gráfica de una solución f(x) de una ecuación diferencial ordinaria se llama curva solución.

Si f(x) es solución de una ecuación diferencial, entonces f(x) es derivable, lo que también significa que es continua en su intervalo de definición δ, esto es necesario para ser solución y no siempre va a ocurrir para todo el dominio de la función f. Puede haber diferencia entre la gráfica de la función f(x) y la gráfica de la solución f(x). En el ejemplo anterior el dominio de la función y=1x es D=R−{0}, mientras que el intervalo de solución es cualquier intervalo que no contenga al 0, por ejemplo δ=(−∞,−1), δ=(5,100) o δ=(1,∞), etcétera. El intervalo de solución no necesita ser igual al dominio de la función f(x).

Gráfica de la función y=1x.

Curva solución definida por y=1x en el intervalo δ=(1,100).

o variables.

Referencias:

Información valiosa tomada de:

   

                Ecuaciones Diferenciales I: Soluciones a las ecuaciones diferenciales - El blog de Leo

Clasificación de Ecuaciones Diferenciales

 

 Aprendizaje Personal

Aprendí que es importante primero que nada, saber identificar que tipo de operación es la que se nos presenta, y esta puede presentarse en varios tipos, tales como:

Tipo 1 (ordinaria) la cual es la que solo depende de una variable.

Tipo 2 ( De orden) estas van de acuerdo al numero de derivada la cual nos indica en nuestra variable dependiente "Y".

Tipo 3 Homogénea las cuales en lo personal se me hicieron las mas sencillas de identificar ya que son las que están igualadas a cero.

Tipo 4 Linealidad aprendí que tiene una característica principal la cual es que debe ser de primer grado.

Aprendizaje Complementario

Las ecuaciones diferenciales son una herramienta clave en la modelación y resolución de problemas en una amplia variedad de campos, desde la física y la ingeniería hasta la biología y las finanzas. A pesar de su importancia, estas ecuaciones pueden ser bastante complicadas y difíciles de resolver. Por esta razón, una primera tarea importante es la clasificación de las ecuaciones diferenciales en diferentes tipos, lo que permitirá aplicar herramientas y técnicas adecuadas para su solución. En esta presentación, exploraremos cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales, incluyendo las categorías más comunes y las características que definen cada una de ellas.

Clasificación de Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son una herramienta clave en la modelación y resolución de problemas en una amplia variedad de campos, desde la física y la ingeniería hasta la biología y las finanzas. A pesar de su importancia, estas ecuaciones pueden ser bastante complicadas y difíciles de resolver. Por esta razón, una primera tarea importante es la clasificación de las ecuaciones diferenciales en diferentes tipos, lo que permitirá aplicar herramientas y técnicas adecuadas para su solución. En esta presentación, exploraremos cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales, incluyendo las categorías más comunes y las características que definen cada una de ellas.

Clasificación de ecuaciones diferenciales de primer orden: Guía práctica

Las ecuaciones diferenciales son una parte fundamental de las matemáticas y se utilizan en muchas áreas de la ciencia. En este artículo, vamos a hablar sobre la clasificación de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Las ecuaciones diferenciales de primer orden son aquellas en las que la derivada de la función desconocida aparece elevada a la primera potencia. Por ejemplo:y’ + 2y = 0

y’ = 3x^2

2y’ + 4y = sin(x)

Clasificación de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Existen diferentes formas de clasificar las ecuaciones diferenciales de primer orden, pero en este artículo nos centraremos en la clasificación según su forma:

Ecuaciones diferenciales separables

Una ecuación diferencial es separable si se puede escribir en la forma:

dy/dx = f(x)g(y)

Se puede resolver separando las variables y luego integrando:

∫ 1/g(y) dy = ∫ f(x) dx

Por ejemplo:y’ = 2x/y

y’ = y^2 + 2x

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una ecuación diferencial es homogénea si se puede escribir en la forma:

dy/dx = f(y/x)

Se puede resolver haciendo un cambio de variable:

v = y/x

Por ejemplo:y’ = (x^2 – y^2)/xy

y’ = (x^2 – y^2)/(2xy)

Ecuaciones diferenciales lineales

Una ecuación diferencial es lineal si se puede escribir en la forma:

dy/dx + p(x)y = q(x)

La solución se puede encontrar utilizando el factor integrante:

e^(∫ p(x) dx)

Por ejemplo:y’ + 2y = 3x

y’ + 3y = cos(x)

Diferenciando ecuaciones diferenciales: lineales vs. no lineales».

Las ecuaciones diferenciales son herramientas matemáticas poderosas para modelar fenómenos físicos, biológicos, económicos y sociales. Estas ecuaciones se pueden clasificar en dos categorías principales: ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. La diferencia entre ambas radica en la forma en que se relacionan las variables en la ecuación.

Una ecuación diferencial lineal es aquella en la que todas las variables y sus derivadas aparecen a lo sumo en primer grado. Por ejemplo, la ecuación diferencial lineal más simple es:

dy/dx = k*y

donde k es una constante. Esta ecuación es lineal porque la variable y y su derivada dy/dx aparecen a lo sumo en primer grado.

Por otro lado, una ecuación diferencial no lineal es aquella en la que al menos una de las variables o sus derivadas aparece a más de primer grado. Por ejemplo, la ecuación diferencial no lineal más simple es:

dy/dx = y^2

Esta ecuación es no lineal porque la variable y aparece a segundo grado.

Las ecuaciones diferenciales lineales tienen propiedades matemáticas especiales que las hacen más fáciles de resolver y de analizar. Por ejemplo, la solución de una ecuación diferencial lineal es una combinación lineal de funciones exponenciales o trigonométricas, dependiendo de los coeficientes en la ecuación. Además, las ecuaciones diferenciales lineales se pueden superponer, lo que significa que si una ecuación es lineal, entonces cualquier combinación lineal de soluciones también es solución.

Las ecuaciones diferenciales no lineales, por otro lado, son mucho más difíciles de resolver y de analizar. No tienen las propiedades matemáticas especiales de las ecuaciones lineales y a menudo requieren métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas.

Las ecuaciones diferenciales lineales tienen propiedades matemáticas especiales que las hacen más fáciles de resolver y analizar, mientras que las ecuaciones diferenciales no lineales son mucho más difíciles de resolver y a menudo requieren métodos numéricos.

Ecuaciones: ¿Ordinarias o parciales? Descubre cómo identificarlas

Las ecuaciones diferenciales son un tema fundamental en el estudio de las matemáticas y la física, pero ¿sabes cómo se clasifican? Una forma de hacerlo es identificando si son ecuaciones ordinarias o parciales.

Las ecuaciones ordinarias son aquellas que involucran una función de una sola variable independiente. Por ejemplo, la ecuación diferencial:

y’ = 2x

donde y es una función de x, es una ecuación diferencial ordinaria.

Por otro lado, las ecuaciones parciales son aquellas que involucran una función de varias variables independientes. Por ejemplo, la ecuación diferencial:

uxx + uyy = 0

donde u es una función de las variables x e y, es una ecuación diferencial parcial.

Es importante destacar que, aunque las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales tienen ciertas diferencias, ambas pueden ser resueltas mediante técnicas similares.

Esperamos que este artículo te haya ayudado a comprender mejor este tema.

Ecuaciones diferenciales: características y definición

Las ecuaciones diferenciales son una herramienta matemática importante para la resolución de problemas en diversas áreas como física, ingeniería, economía, biología, entre otras.

Definición: Las ecuaciones diferenciales son aquellas que contienen una o varias derivadas de una función desconocida.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según el grado y orden de la derivada presente en la ecuación. El grado se refiere al mayor exponente de la derivada presente, mientras que el orden se refiere al número de derivadas presentes en la ecuación.

Por ejemplo, la ecuación y»+5y’+6y=0 es una ecuación diferencial de segundo orden y grado dos, ya que la derivada de segundo orden es la de mayor exponente presente en la ecuación y hay dos derivadas presentes.

Otro ejemplo es la ecuación dy/dx + y = x, que es una ecuación diferencial de primer orden y grado uno, ya que la derivada de primer orden es la de mayor exponente presente y hay una sola derivada presente.

Características: Las ecuaciones diferenciales pueden ser lineales o no lineales, homogéneas o no homogéneas y de coeficientes constantes o variables.

Las ecuaciones diferenciales lineales son aquellas en las que la función desconocida y sus derivadas aparecen en la ecuación de forma lineal. Por ejemplo, la ecuación y»+5y’+6y=0 es una ecuación diferencial lineal.

Las ecuaciones diferenciales no lineales son aquellas en las que la función desconocida y/o sus derivadas aparecen en la ecuación de forma no lineal. Por ejemplo, la ecuación y»+sin(y)=0 es una ecuación diferencial no lineal.

Las ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas en las que el término independiente es cero. Por ejemplo, la ecuación y»+5y’+6y=0 es una ecuación diferencial homogénea.

Las ecuaciones diferenciales no homogéneas son aquellas en las que el término independiente no es cero. Por ejemplo, la ecuación y»+5y’+6y=x^2 es una ecuación diferencial no homogénea.

Las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes son aquellas en las que los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas son constantes. Por ejemplo, la ecuación y»+5y’+6y=0 es una ecuación diferencial de coeficientes constantes.

Las ecuaciones diferenciales de coeficientes variables son aquellas en las que los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas son funciones variables. Por ejemplo, la ecuación y»+2xy’+y=0 es una ecuación diferencial de coeficientes variables.

Se clasifican según el grado y orden de la derivada presente en la ecuación y presentan diferentes características como linealidad, homogeneidad y coeficientes constantes o variables.

Referencias:

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