Reglas de la Derivación

   

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Con estas reglas nos ensena una manera mas practica de resolver las derivadas dejando un poco atrás los limites, sin embargo creo que es importante identificar que tipo de regla debemos utilizar para cada uno de los ejercicios que vayamos a realizar.

Un punto clave el cual vimos en clase, es visualizar que tipo de operación se esta realizando y así saber la regla que debemos utilizar.

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¿Qué son las reglas de derivación?

Las reglas de derivación son el conjunto de indicaciones a seguir para encontrar la derivada ordinaria de una función de variable real f(x).

La derivada ordinaria de la función f(x), denotada como f’(x), se interpreta como la tasa de cambio instantánea de dicha función respecto a la variable x. Gráficamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva de f(x), calculada en un punto dado cuya coordenada es xo, tal como se representa en la figura de abajo.

Ahora bien, analíticamente la derivada se calcula a través del siguiente límite:

Entonces, cada vez que se requiera la derivada de alguna función, habría que evaluar el límite como se indica. Sin embargo, existen las reglas de derivación, que se memorizan fácilmente con un poco de práctica y ahorran el trabajo de calcular el límite, lo cual en algunos casos es engorroso.

Referencias:

Información valiosa tomada de:

Fanny Zapata Licenciada en Física, con mención en Física Experimental

Última edición el 3 de mayo de 2021, © Lifeder 2024 | All Rights reserved.

Definición de la Derivada

 

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El tema es interesante ya que la derivada es la que nos permite encontrar la velocidad en un punto exacto, o también se puede decir que es la que nos permite encontrar la recta tangente a una función dada.

Esto es importante ya que en los procesos regularmente no existe una velocidad promedio, sino que va cambiando de acuerdo al tiempo, para estos ejercicios utilizamos una función que se determina de la siguiente manera:

Recordemos que la "h" tambien en algunos libros la podemos encontrar como un triangulo y una x, que a esto de le llama delta equis.

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¿Qué es una derivada?

Se utiliza en matemática para el cálculo de respuestas de una función a la que se le están alternando sus valores iniciales, el cual está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre otra curva (función) y el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo evaluada la función recibe el nombre de derivada.

¿Para qué sirve?

Sirven para garantizar u optimizar sistemas que se expresan con funciones más o menos complejas.
Uso de las derivadas en la vida diaria

No solo cumple un papel fundamental en el área de la matemática, sino también en diversas ciencias como la física, mecánica, biología, en el estudio de la medicina y la economía.

Una forma más sencilla de comprenderlas es saber que estas representan razones de cambio, en ingeniería por ejemplo sirve para calcular la variación de la temperatura en un tubo cuando aumenta la presión.

Otro ejemplo sería para calcular cuánto tiempo le durará la batería a un celular en función al cambio de consumo de corriente durante una llamada.
Derivada de una función real

La función f es la función f’ definida por:

Para todo x donde exista este límite.

Cuando estamos interesados particularmente en el valor de la derivada f’ en x=a reescribimos la definición así:

Se observa que x→a cuando h→0 si el límite de la definición existe decimos que la función f es derivable o diferenciable en x=a. el proceso de encontrar la derivada (f’) se llama derivación de f.

Referencias:

Información valiosa tomada de:

Yolijose Rivas

Profesora de Matemática, Egresada de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL) - Venezuela, http//www.matemente.com/derivada/#GeneratedCaptionsTabForHeroSec#:~:text=Una%20derivada

Continuidad de una funcion

 

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Una función se puede identificar si es continua, directamente en una gráfica, y a simple vista se puede decir que es sencillo identificarla, ya que los trazos se realizan sin una separación. pero cuando se trata de identificar analíticamente con la función F(x) ahí es donde se pone un puede poner un poco complejo desde mi punto de vista y es ahí donde hay que resolver, y definimos que una función es continua cuando los 3 limites tienen el mismo valor.

La discontinuidad, de igual manera se puede identificar gráficamente pues muy rápido ya que existe una separación entre los trazos, y para identificarla de forma analítica basta tener un límite de diferente valor a los demás.

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1. Concepto de continuidad


Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.


Ejemplo de función continua: f(x)=x3𝑓(𝑥)=𝑥3.

Gráfica:





Ejemplo de función no continua: f(x)=1/x𝑓(𝑥)=1/𝑥.

Gráfica:


Definición formal:


La función f𝑓 es continua en el punto c𝑐 si

limx→cf(x)=f(c)lim𝑥→𝑐𝑓(𝑥)=𝑓(𝑐)

La función f𝑓 es continua si es continua en todos los puntos.

Por ejemplo, la función f(x)=1/x𝑓(𝑥)=1/𝑥 no es continua en x=0𝑥=0 porque no existe f(0)𝑓(0).
Observaciones:

En realidad, para hablar de continuidad en un punto a𝑎, debería ser indispensable que el punto a𝑎 pertenezca al dominio de la función.

Por ejemplo, el dominio de f(x)=1/x𝑓(𝑥)=1/𝑥 es R−{0}𝑅−{0} y la función es continua en su dominio. Sin embargo, no existe el límite de f(x)𝑓(𝑥) cuando x→0𝑥→0 ni existe f(0)𝑓(0), por lo que decimos que f𝑓 no es continua en x=0𝑥=0.

Como normalmente consideramos a todas las funciones como f:R→R𝑓:𝑅→𝑅, tenemos que calcular primero el dominio de la función y, después, la continuidad en el dominio.

Funciones polinómicasf(x)=amxm + am−1xm−1 +𝑓(𝑥)=𝑎𝑚𝑥𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑥𝑚−1 ++ ... + a1x + a0+ ... + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

Son continuas en todos los reales.

Funciones racionalesf(x)=p(x)q(x)𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)

Son continuas en todos los reales excepto en los que anulan al denominador.

Funciones exponencialesf(x)=ax𝑓(𝑥)=𝑎𝑥

Como regla general, son continuas en todos los reales. Cuando la base es no positiva, a≤0𝑎≤0, puede haber complicaciones.

Funciones logarítmicasf(x)=log(x)𝑓(𝑥)=log⁡(𝑥)

Son continuas en todos los reales positivos.

Funciones irracionalesf(x)=n√x𝑓(𝑥)=𝑥𝑛

Si n𝑛 es par, son continuas en todos los reales. Si n𝑛 es impar, en los reales positivos.

Funciones trigonométricas

El seno y el coseno son continuas en todos los reales. La tangente no es continua en π/2+nπ𝜋/2+𝑛𝜋 para todo entero n𝑛.

La mayoría de las funciones que veremos son combinaciones de las anteriores, así que es recomendable aprender su continuidad.

Referencias:

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