Mi Blog ALAN BAUTISTA: Coeficientes Indeterminados Método de Superposición

Aprendizaje Personal

En la clase vimos que es de suma importancia primero que nada identificar si aplica es te metodo, practicamente aplica cuando es un polinomio, exponencial o seno/ coseno, despues nos indica que debemos obtener primero la solucion complementaria, iniciando al sacar las derivadas que nos pida para despues reemplazar esos valores obtenidos en la ecuacion principal esto para obtener los 2 resultados de "r'.

Posterior a esto se debe obtener la solucion particular que es donde nos apoyamos un poco de la tabla compartida por el profesor para asi poder desarrollar la ecuacion, obteniendo el valor de "A, B y C" en algunos de los casos.

Aprendizaje Complementario

Método de Superposición

Consideremos una ecuación diferencial lineal, no homogénea, de orden superior y con coeficientes consta,

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+ay=h(x).$

Como tenemos una combinación lineal de las derivadas de $y$ igual a $h(x)$ es lógico pensar que la solución de la ecuación diferencial tiene una forma similar de $h(x)$ . El método de superposición tiene como premisa la idea anterior, así pues, este método consiste en suponer una solución de la ecuación diferencial con una estructura similar a $h(x)$ .

Podemos notar que el método posee una gran limitación al suponer una solución con una estructura similar a $h(x)$ , por lo tanto, las ecuaciones diferenciales que podemos solucionar por este método están restringidas a la forma que pueda llegar a tomar $h(x)$ .

Restricciones del métodos

Estas son las restricciones que se presentan en el método:

Los coeficientes de la ecuación diferencial tienen que ser constantes.
Las estructura de deben ser:
- Constante
  - $h(x)=3, \hspace{0.5cm} h(x)=\pi,\hspace{0.5cm} h(x)=29.5$
- Polinomial
  - $h(x)=x+1, \hspace{0.5cm} h(x)=x^{2}+2x+1,\hspace{0.5cm} h(x)=7x^{5}+8x^{2}+9$
- Exponencial
  - $h(x)=e^{3x}, \hspace{0.5cm} h(x)=e^{2.71x},\hspace{0.5cm} h(x)=e^{\frac{x}{2}}$
- Trigonométrica
  - $h(x)=\sin(2x), \hspace{0.5cm} h(x)=\cos(\pi x),\hspace{0.5cm} h(x)=\sin(\frac{x}{4})$
    Nota: el método solo admite funciones trigonométricas $\sin$ y $\cos$

Es importante mencionar que el método también admite las diferentes combinaciones en suma y multiplicación que se pueden presentar entre las funciones mencionadas anteriormente, ejemplo:

$h(x)=e^{3x}(7x^{5}+8x^{2}+9)$

$h(x)=e^{3x}\sin(2x)$

Solución general

Recordemos que una solución general de una ecuación diferencial no homogénea corresponde a la superposición de dos soluciones, una solución homogénea $y_{h}$ y una solución particular $y_{p}$ . La solución homogénea es claramente el caso donde $h(x)=0$ y la solución particular es cuando tenemos una o varias de las funciones posibles que puede llegar a tomar $h(x)$ .

$y=y_{h}+y_{p}$

Si $h(x)=0$ se supone una solución en la forma $e^{mx}$ y si $h(x)$ toma una de las estructuras factibles mencionadas anteriormente, se supone una solución en forma general de la estructura de $h(x)$ , ejemplo:

Si tenemos que:

- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=Ax^{2}+Bx+C$
- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=Ax+B$
- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=Ae^{\alpha x}$
- Suponemos una solución en la forma $y_{p}=A\sin(\alpha x)+B\cos(\alpha x)$ .

Definida la forma de la solución particular $y_{p}$ , reemplazamos la función en la ecuación diferencial y posteriormente determinamos los valores de las constantes de la solución $y_{p}$ planteada.

Veamos una tabla con algunas de las posibles soluciones particulares: