Coeficientes Indeterminados Método de Superposición

                                                                  

 

 Aprendizaje Personal

En la clase vimos que es de suma importancia primero que nada identificar si aplica es te metodo, practicamente aplica cuando es un polinomio, exponencial o seno/ coseno, despues nos indica que debemos obtener primero la solucion complementaria, iniciando al sacar las derivadas que nos pida para despues reemplazar esos valores obtenidos en la ecuacion principal esto para obtener los 2 resultados de "r'.

Posterior a esto se debe obtener la solucion particular que es donde nos apoyamos un poco de la tabla compartida  por el profesor para asi poder desarrollar la ecuacion, obteniendo el valor de "A, B y C" en algunos de los casos.

Aprendizaje Complementario

Método de Superposición

Consideremos una ecuación diferencial lineal, no homogénea, de orden superior y con coeficientes consta,

Como tenemos una combinación lineal de las derivadas de  igual a  es lógico pensar que la solución de la ecuación diferencial tiene una forma similar de . El método de superposición tiene como premisa la idea anterior, así pues, este método consiste en suponer una solución de la ecuación diferencial con una estructura similar a .

Podemos notar que el método posee una gran limitación al suponer una solución con una estructura similar a , por lo tanto, las ecuaciones diferenciales que podemos solucionar por este método están restringidas a la forma que pueda llegar a tomar .

Restricciones del métodos

Estas son las restricciones que se presentan en el método:

• Los coeficientes de la ecuación diferencial tienen que ser constantes.
• Las estructura de  deben ser:
  • Constante
    • 
  • Polinomial
    • 
  • Exponencial
    • 
  • Trigonométrica
    • 
      Nota: el método solo admite funciones trigonométricas  y 

Es importante mencionar que el método también admite las diferentes combinaciones en suma y multiplicación que se pueden presentar entre las funciones mencionadas anteriormente, ejemplo:

Solución general

Recordemos que una solución general de una ecuación diferencial no homogénea corresponde a la superposición de dos soluciones, una solución homogénea  y una solución particular . La solución homogénea es claramente el caso donde  y la solución particular es cuando tenemos una o varias de las funciones posibles que puede llegar a tomar .

Si  se supone una solución en la forma  y si  toma una de las estructuras factibles mencionadas anteriormente, se supone una solución en forma general de la estructura de , ejemplo:

Si tenemos que:

• 
  • Suponemos una solución en la forma 
• 
  • Suponemos una solución en la forma 
• 
  • Suponemos una solución en la forma 
• 
  • Suponemos una solución en la forma .

Definida la forma de la solución particular , reemplazamos la función en la ecuación diferencial y posteriormente determinamos los valores de las constantes de la solución  planteada.

Veamos una tabla con algunas de las posibles soluciones particulares:

Referencias:

Información valiosa tomada de:

   

                    Coeficientes Indeterminados (Método de Superposición) – Bastian

Ecuaciones Diferenciales Exactas

 

                                                          

 Aprendizaje Personal

Debemos primero que nada saber identificar si es una ecuación exacta o no esto se sabe si al obtener las derivadas de M y N se obtiene el mismo resultado, en caso de que no pues básicamente terminamos el ejercicio mencionando que no es exacta.

Aprendizaje Complementario

 

Ecuaciones Diferenciales Exactas

El siguiente método te ayudara a resolver cualquier tipo de ecuaciones diferenciales exactas de primer orden en 4 pasos sencillos.

Estudios científicos recientes realizados por el Dr. Terrence Sejnowski investigador el Instituto Howard Huges, apuntan a que utilizar el pensamiento difuso a la vez que el enfocado durante en proceso de aprendizaje es una técnica efectiva para aprender cualquier cosa, ya que se necesita acceder recursos de la mente que se ignoran al momento de estar enfocado.

Una de las forma de utilizar el pensamiento enfocado y el difuso como lo dice el Dr. Terrence, es mediante el aprender haciendo y para eso te propongo que emplees los pasos que te describo sin tratar de entenderlos del todo al principio y confiando que, cuando entres en el modo de pensamiento difuso (al realizar otra actividad que te despeje de tu concentración) el entendimiento conceptual de los temas se dará.

El método para resolver en 4 pasos ED exactas lo describo a continuación:

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Primero definimos si la ecuacion es exacta o no, mediante los siguiente dos
criterios:

• FORMA ESTÁNDAR DE LA ED EXACTA

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

• CRITERIO PARA DEFINIR EXACTITUD DE LA ED

  

 

 

4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

4. Sustituimos g(y) del paso (3) en (1) e igualamos a c (c = constante)

Si encontramos que la funcion N(x,y), es más facilmente integrable podemos utilizar los mismos cuatro pasos en funcion de N, ver el Ejemplo 5 al final y/o revisar 

los 4 pasos del método alternativo.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

En los siguientes problemas determine si la ED es exacta, si lo es resuélvala.

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Ejemplo 1. Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 3)

(5x+4y)dx+(4x−8y3)dy=0

-Determinamos si es exacta la ED

M(x,y)dx=5x+4y;        N(x,y)=4x−8y3

δMδy=4;        δNδx=4

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

δMδy=δNδx

Resolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente

Paso 1.

Paso 2.

    Paso 3.

Paso 4.

 

 

 

Referencias:

Información valiosa tomada de:

   

       Ecuaciones Diferenciales Exactas. ED exactas en 4 pasos