Definición de la Transformada de Laplace

 

 

Desarrollo del tema

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta que es utilizada (entre otras cosas) para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. En comparación con el método clásico de resolución de ecuaciones diferenciales lineales, la transformada de Laplace tiene dos características atractivas:

1. La solución de la ecuación homogénea y la solución particular se obtienen en una sola operación.
2. La transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en la variable s. La solución en s se obtiene al manipular una ecuación algebraica y finalmente, la solución en t se obtiene por medio de la transformada inversa de Laplace de la solución en s.

Definición. Dada una función, real f(t) que satisface la condición:

Para alguna función f(t) real finita, la transformada de Laplace de f(t) se define como:

La variable s se denomina operador de Laplace, una variable compleja tal que s = σ + jω. Ejemplo. Sea f(t) una función escalón unitario el cual se define como:

La transformada de Laplace de f(t) está dada por:

Sustituyendo en la integral:

Ejemplo. Considérese la ecuación exponencial

La transformada de Laplace de f(t) está dada por:

Ejemplo. Considérese la ecuación exponencial:

Puesto que

Así

Además,

Ejemplo. Considérese la ecuación exponencial

con transformada de Laplace

Usando la propiedad de linealidad del operador de Laplace (puesto que la integral es un operador lineal), se tiene:

De la misma forma:

Propiedad. Una de las más básicas y útiles propiedades del operador de Laplace L es la linealidad. Sea

Propiedad de homogeneidad

Propiedad de actividad

Aplicando ambas propiedades se obtiene la propiedad de superposición:

Teorema de la derivada. Suponga que f(t) es una función continua en [0,∞) y que f(t) es continua a trozos en [0,∞), entonces:

Considérese el cambio de variable:

Así, integrando por partes se tiene:

Definición. La convolución de dos funciones f(t) y g(t), definidas para t > 0, está dada por la integral:

La integral de convolución existe siempre que f(t) y g(t) sean funciones continuas a trozos.

Teorema de Convolución. Si f(t) y g(t) son funciones continuas a trozos en [0,∞), entonces:

La transformada de Laplace de la integral anterior está dada por:

Teorema general de la derivada y la integral. Si f(t), f'(t), …, f n−1(t) son continuos en [0,∞), de orden exponencial y además, f n(t) es continua a trozos en [0,∞), entonces:

Para la integración de n-ésimo orden:

La transformada de Laplace tiene dos prioridades que son útiles para determinar valores límite de una función f(t), cuando t = 0 o cuando t → ∞, aun si la función f(t) no se conoce explícitamente.

Teorema del valor inicial. Sea la función h(t) continua en el intervalo [0, ∞) y de orden exponencial, además, f'(t) es continua a trozos en el mismo intervalo, entonces:

Teorema del valor inicial. Sea la función f(t) continua en el intervalo [0,∞) y de orden exponencial, además, f'(t) es continua a trozos en el mismo intervalo. Supóngase también que el límite

existe, entonces:

Transformada Inversa de Laplace

Dada una función en el dominio de Laplace F(s), la operación para obtener f(t) se denomina como la transformada inversa de Laplace y se denota como:

La integral de la transformada inversa de Laplace se representa como:

donde c ∈ R y es mayor que las partes reales de todas las singularidades de F(s). En la mayoría de los problemas de control, la evaluación de la transformada inversa de Laplace no requiere el uso de la integral de inversión definida anteriormente. La operación de la transformada inversa de Laplace que involucra funciones racionales se puede realizar mediante el empleo de las transformadas de Laplace conocidas y la expansión en fracciones parciales.

Conclusión

La transformada de Laplace es una herramienta que es utilizada (entre otras cosas) para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. En comparación con el método clásico de resolución de ecuaciones diferenciales lineales, la transformada de Laplace tiene dos características atractivas:

• La solución de la ecuación homogénea y la solución particular se obtienen en una sola operación.
• La transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en la variable s. La solución en s se obtiene al manipular una ecuación algebraica y finalmente, la solución en t se obtiene por medio de la transformada inversa de Laplace de la solución en s.

Referencias:

Información valiosa tomada de:

   

                                           © 2023 Universidad de Guanajuato

Coeficientes Indeterminados Método de Superposición

                                                                  

 

 Aprendizaje Personal

En la clase vimos que es de suma importancia primero que nada identificar si aplica es te metodo, practicamente aplica cuando es un polinomio, exponencial o seno/ coseno, despues nos indica que debemos obtener primero la solucion complementaria, iniciando al sacar las derivadas que nos pida para despues reemplazar esos valores obtenidos en la ecuacion principal esto para obtener los 2 resultados de "r'.

Posterior a esto se debe obtener la solucion particular que es donde nos apoyamos un poco de la tabla compartida  por el profesor para asi poder desarrollar la ecuacion, obteniendo el valor de "A, B y C" en algunos de los casos.

Aprendizaje Complementario

Método de Superposición

Consideremos una ecuación diferencial lineal, no homogénea, de orden superior y con coeficientes consta,

Como tenemos una combinación lineal de las derivadas de  igual a  es lógico pensar que la solución de la ecuación diferencial tiene una forma similar de . El método de superposición tiene como premisa la idea anterior, así pues, este método consiste en suponer una solución de la ecuación diferencial con una estructura similar a .

Podemos notar que el método posee una gran limitación al suponer una solución con una estructura similar a , por lo tanto, las ecuaciones diferenciales que podemos solucionar por este método están restringidas a la forma que pueda llegar a tomar .

Restricciones del métodos

Estas son las restricciones que se presentan en el método:

• Los coeficientes de la ecuación diferencial tienen que ser constantes.
• Las estructura de  deben ser:
  • Constante
    • 
  • Polinomial
    • 
  • Exponencial
    • 
  • Trigonométrica
    • 
      Nota: el método solo admite funciones trigonométricas  y 

Es importante mencionar que el método también admite las diferentes combinaciones en suma y multiplicación que se pueden presentar entre las funciones mencionadas anteriormente, ejemplo:

Solución general

Recordemos que una solución general de una ecuación diferencial no homogénea corresponde a la superposición de dos soluciones, una solución homogénea  y una solución particular . La solución homogénea es claramente el caso donde  y la solución particular es cuando tenemos una o varias de las funciones posibles que puede llegar a tomar .

Si  se supone una solución en la forma  y si  toma una de las estructuras factibles mencionadas anteriormente, se supone una solución en forma general de la estructura de , ejemplo:

Si tenemos que:

• 
  • Suponemos una solución en la forma 
• 
  • Suponemos una solución en la forma 
• 
  • Suponemos una solución en la forma 
• 
  • Suponemos una solución en la forma .

Definida la forma de la solución particular , reemplazamos la función en la ecuación diferencial y posteriormente determinamos los valores de las constantes de la solución  planteada.

Veamos una tabla con algunas de las posibles soluciones particulares:

Referencias:

Información valiosa tomada de:

   

                    Coeficientes Indeterminados (Método de Superposición) – Bastian